A primeira coisa que você precisa entender é que esses dois termos fazem parte de um grupo maior, que são os gastos, que, geralmente, são classificados entre: despesas, custos e investimentos.
Sendo assim, as despesas são gastos gerais e que não estão diretamente ligados à produção, venda ou prestação de serviços de sua empresa.
As despesas podem ser divididas em fixas ou variáveis. As fixas, como o próprio nome sugere, são aquelas que existirão independentemente do volume de vendas. Os salários do pessoal administrativo e os gastos com limpeza são exemplos disso, pois deverão ser pagos todos os meses, mesmo em períodos de baixa demanda.
As despesas variáveis são aquelas que podem ou não ocorrer em determinado período. Por exemplo: as manutenções em prédios, estruturas e computadores utilizados pelo setor administrativo da empresa.
Os custos, por sua vez, ao contrário do exemplo anterior, são aqueles gastos diretamente relacionados à atividade-fim da sua empresa. Assim como as despesas, os custos também podem ser divididos entre fixos e variáveis, de acordo com o mesmo conceito que mencionamos anteriormente.